Question

如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=6 2 +6

如图，四边形ABCD中，AB=AC=AD，E是CB的中点，AE=EC，∠BAC=3∠DBC，BD=6 2 +6 6 ，则AB=______．

Answer 1

法一：以点A为圆心，AB为半径画圆，作CF⊥BD，垂足为F， ∵AB=AC=AD，∴C、D两点都在⊙A上， ∵E是CB的中点，AE=EC，由垂径定理得， AE=EC=BE，AE⊥BC， ∴∠BAC=90°， ∠BDC= 1 2 ∠BAC=45°， 又∵∠BAC=3∠DBC， ∴∠DBC=30°， ∠CAD=2∠DBC=60°， △ACD为等边三角形， 设AB=AC=CD=x， 在Rt△ABC中，BC= 2 x， 在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF= 3 2 BC= 6 2 x， 同理，DF= 2 2 x， 由DF+BF=BD，得 2 2 x+ 6 2 x=6 2 +6 6 解得x=12，即AB=12． 法二：作CF⊥BD，垂足为F， ∵AB=AC，E是CB的中点，AE=EC ∴AE=BE=EC，AE⊥BC， ∴∠BAE=∠ABE=45°，∠ACE=∠EAC=45°， ∴∠BAC=90°， 又∵∠BAC=3∠DBC， ∴∠DBC=30°， ∴∠ABD=∠ADB=15°， ∴∠BAD=150°， ∴∠CAD=60°， △ACD为等边三角形， 设AB=AC=CD=x， 在Rt△ABC中，BC= 2 x， 在Rt△BCF中，∠FBC=30°，BF= 3 2 BC= 6 2 x， 同理，DF= 2 2 x， 由DF+BF=BD，得 2 2 x+ 6 2 x=6 2 +6 6 解得x=12，即AB=12．