如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D为AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E．（1）△ABE与△DBC相
如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D为AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E．（1）△ABE与△DBC相似吗？请说明理由；（2）若BC=5，CD=5，求s...
如图，BC为半圆的直径，O为圆心，D为AC的中点，四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点E．（1）△ABE与△DBC相似吗？请说明理由；（2）若BC=5，CD=5，求sin∠AEB的值；（3）在（2）的条件下求弦AB的长．
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（1）∵BC为半圆的直径，
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；
（2）∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
∵∠BDC=90°，BC=5，CD=
，
∴BD=
＝2
，
∴sin∠AEB=sin∠DCB=
＝
；
（3）∵D为AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DCE=∠DBC，
∵∠CDE=∠DCB，
∴△DCE∽△DBC，
∴
＝
，
∴DE=
＝
，
∴BE=BD-DE=
，
∴AB=BE?sin∠AEB=
∴∠BAC=∠BDC=90°，
∵∠ABD=∠CBD，
∴△ABE∽△DBC；
（2）∵△ABE∽△DBC，
∴∠AEB=∠DCB，
∵∠BDC=90°，BC=5，CD=
| 5 |
∴BD=
| BC2?CD2 |
| 5 |
∴sin∠AEB=sin∠DCB=
| BD |
| BC |
2
| ||
| 5 |
（3）∵D为AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD，
∵∠ABD=∠ACD，
∴∠DCE=∠DBC，
∵∠CDE=∠DCB，
∴△DCE∽△DBC，
∴
| DC |
| DB |
| DE |
| DC |
∴DE=
| DC2 |
| DB |
| ||
| 2 |
∴BE=BD-DE=
3
| ||
| 2 |
∴AB=BE?sin∠AEB=
3
|
