已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=-1相切.(Ⅰ)求动圆圆心C的轨迹方程;(Ⅱ)设A、B是轨迹C上异于
已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=-1相切.(Ⅰ)求动圆圆心C的轨迹方程;(Ⅱ)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β,①当α...
已知动圆C过定点(1,0),且与直线x=-1相切.(Ⅰ)求动圆圆心C的轨迹方程;(Ⅱ)设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点,直线OA和OB的倾斜角分别为α和β, ①当α+β=π2时,求证直线AB恒过一定点M; ②若α+β为定值θ(0<θ<π),直线AB是否仍恒过一定点,若存在,试求出定点的坐标;若不存在,请说明理由.
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(Ⅰ)设动圆圆心M(x,y),
∵动圆C过定点(1,0),且与直线x=-1相切,
∴点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线…(2分)
其方程为y2=4x.
∴动圆圆心C的轨迹方程是y2=4x.…(3分)
(Ⅱ)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意得x1≠x2(否则α+β=π),且x1x2≠0,
则x1=
,x2=
∴直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,
则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2-4y+4b=0
由韦达定理得y1+y2=
,y1y2=
,※…(6分)
①当α+β=
时,tanα?tanβ=1
∴
?
=1,x1x2?y1y2=0,…(7分)
∴y1y2=16,又由※知:y1y2=
,∴b=4k,
∵直线AB的方程可表示为y=kx+4k,
∴直线AB恒过定点(-4,0).…(8分)
②当α+β为定值θ(0<θ<π)时.若α+β=
,由①知,
直线AB恒过定点M(-4,0).…(9分)
当θ≠
时,由α+β=θ,得:
tanθ=tan(α+β)=
=
将※式代入上式整理化简可得:tanθ=
,
∴b=4k+
,…(11分)
此时,直线AB的方程可表示为y=kx+4k+
,
所以直线AB恒过定点(?4,
)…(12分)
所以当θ=
时,直线AB恒过定点(-4,0).,
当θ≠
时直线AB恒过定点
∵动圆C过定点(1,0),且与直线x=-1相切,
∴点M的轨迹是以(1,0)为焦点,直线x=-1为准线的抛物线…(2分)
其方程为y2=4x.
∴动圆圆心C的轨迹方程是y2=4x.…(3分)
(Ⅱ)证明:设A(x1,y1),B(x2,y2).
由题意得x1≠x2(否则α+β=π),且x1x2≠0,
则x1=
| ||
4 |
| ||
4 |
∴直线AB的斜率存在,设直线AB的方程为y=kx+b,
则将y=kx+b与y2=4x联立消去x,得ky2-4y+4b=0
由韦达定理得y1+y2=
4 |
k |
4b |
k |
①当α+β=
π |
2 |
∴
y1 |
x1 |
y2 |
x2 |
∴y1y2=16,又由※知:y1y2=
4b |
k |
∵直线AB的方程可表示为y=kx+4k,
∴直线AB恒过定点(-4,0).…(8分)
②当α+β为定值θ(0<θ<π)时.若α+β=
π |
2 |
直线AB恒过定点M(-4,0).…(9分)
当θ≠
π |
2 |
tanθ=tan(α+β)=
tanα+tanβ |
1?tanαtanβ |
4(y1+y2) |
y1y2?16 |
将※式代入上式整理化简可得:tanθ=
4 |
b?4k |
∴b=4k+
4 |
tanθ |
此时,直线AB的方程可表示为y=kx+4k+
4 |
tanθ |
所以直线AB恒过定点(?4,
4 |
tanθ |
所以当θ=
π |
2 |
当θ≠
π |
2 |
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