Question

已知动圆C过定点（1，0），且与直线x=-1相切．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于

已知动圆C过定点（1，0），且与直线x=-1相切．（Ⅰ）求动圆圆心C的轨迹方程；（Ⅱ）设A、B是轨迹C上异于原点O的两个不同点，直线OA和OB的倾斜角分别为α和β， ①当α+β=π2时，求证直线AB恒过一定点M； ②若α+β为定值θ（0＜θ＜π），直线AB是否仍恒过一定点，若存在，试求出定点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

（Ⅰ）设动圆圆心M（x，y），
∵动圆C过定点（1，0），且与直线x=-1相切，
∴点M的轨迹是以（1，0）为焦点，直线x=-1为准线的抛物线…（2分）
其方程为y²=4x．
∴动圆圆心C的轨迹方程是y²=4x．…（3分）
（Ⅱ）证明：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
由题意得x₁≠x₂（否则α+β=π），且x₁x₂≠0，
则x1＝

y 2 1

4

，x2＝

y 2 2

4

∴直线AB的斜率存在，设直线AB的方程为y=kx+b，
则将y=kx+b与y²=4x联立消去x，得ky²-4y+4b=0
由韦达定理得y1+y2＝

4

k

，y1y2＝

4b

k

，※…（6分）
①当α+β=

π

2

时，tanα?tanβ=1
∴

y1

x1

?

y2

x2

＝1，x1x2?y1y2＝0，…（7分）
∴y₁y₂=16，又由※知：y₁y₂=

4b

k

，∴b=4k，
∵直线AB的方程可表示为y=kx+4k，
∴直线AB恒过定点（-4，0）．…（8分）
②当α+β为定值θ（0＜θ＜π）时．若α+β=

π

2

，由①知，
直线AB恒过定点M（-4，0）．…（9分）
当θ≠

π

2

时，由α+β=θ，得：
tanθ=tan（α+β）=

tanα+tanβ

1?tanαtanβ

=

4(y1+y2)

y1y2?16

将※式代入上式整理化简可得：tanθ＝

4

b?4k

，
∴b＝4k+

4

tanθ

，…（11分）
此时，直线AB的方程可表示为y=kx+4k+

4

tanθ

，
所以直线AB恒过定点(?4，

4

tanθ

)…（12分）
所以当θ＝

π

2

时，直线AB恒过定点（-4，0）．，
当θ≠

π

2

时直线AB恒过定点