（2014?娄底）如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动

（2014?娄底）如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运... （2014?娄底）如图甲，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果点P由点B出发沿BA方向向点A匀速运动，同时点Q由点A出发沿AC方向向点C匀速运动，它们的速度均为1cm/s．连接PQ，设运动时间为t（s）（0＜t＜4），解答下列问题：（1）设△APQ的面积为S，当t为何值时，S取得最大值？S的最大值是多少？（2）如图乙，连接PC，将△PQC沿QC翻折，得到四边形PQP′C，当四边形PQP′C为菱形时，求t的值；′（3）当t为何值时，△APQ是等腰三角形？ 展开
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闹房椎144
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解：（1）如图甲，过点P作PH⊥AC于H，
∵∠C=90°，
∴AC⊥BC，
∴PH∥BC，
∴△APH∽△ABC，
∴
PH
BC
=
AP
AB
，
∵AC=4cm，BC=3cm，
∴AB=5cm，
∴
PH
3
=
5?t
5
，
∴PH=3-
3
5
t，
∴△AQP的面积为：
S=
1
2
×AQ×PH=
1
2
×t×（3-
3
5
t）=-
3
10
（t-
5
2
）2+
15
8
，
∴当t为
5
2
秒时，S最大值为
15
8
cm2．

（2）如图乙，连接PP′，PP′交QC于E，
当四边形PQP′C为菱形时，PE垂直平分QC，即PE⊥AC，QE=EC，
∴△APE∽△ABC，
∴
AE
AC
=
AP
AB
，
∴AE=
AP?AC
AB
=
(5?t)×4
5
=-
4
5
t+4
QE=AE-AQ═-
4
5
t+4-t=-
9
5
t+4，
QE=
1
2
QC=
1
2
（4-t）=-
1
2
t+2，
∴-
9
5
t+4=-
1
2
t+2，
解得：t=
20
13
，
∵0＜
20
13
＜4，
∴当四边形PQP′C为菱形时，t的值是
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