Question

设数列{an}前n项和为Sn，已知a1=a（a≠4），an+1=2Sn+4n（n∈N*）（Ⅰ）设b n＝Sn?4n，求证：数列{bn}是

设数列{an}前n项和为Sn，已知a1=a（a≠4），an+1=2Sn+4n（n∈N*）（Ⅰ）设b n＝Sn?4n，求证：数列{bn}是等比数列；（Ⅱ）求数列{an}的通项公式；（Ⅲ）若an+1≥an（n∈N*），求实数a取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）证明：依题意得：S_n+1-S_n=a_n+1=2S_n+4ⁿ，即S_n+1=3S_n+4ⁿ，
由此得Sn+1?4n+1=3（Sn?4n）即b_n+1=3b_n，…（2分）
∴数列{b_n}是公比为3的等比数列．         …（3分）
（Ⅱ）解：∵bn＝Sn?4n＝(a?4)?3n?1，
∴Sn＝4n+(a?4)?3n?1，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=3×4^n-1+2（a-4）?3^n-2，…（6分）
n=1时，a₁=1
∴an＝

3×4n?1+2(a?4)?3n?2 a，n＝1

…（7分）
（Ⅲ）解：∵a_n+1=3×4ⁿ+2（a-4）?3^n-1，
∴a_n+1-a_n=4?3^n-2[9?(

4

3

)n?2+a?4]≥0
设f（n）=9?(

4

3

)n?2+a?4，则f（n）≥0，…（9分）
∵当n≥2时，f（n）是递增数列，∴f（n）的最小值为f（2）=a+5…（10分）
∴当n≥2时a_n+1-a_n≥0恒成立，等价于a+5≥0，即a≥-5…（11分）
又a₂≥a₁等价于2a₁+4≥a₁，即a≥-4．…（13分）
综上，所求的a的取值范围是[-4，4）∪（4，+∞）．…（14分）