Question

如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．（

如图，△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交BE的延长线于F，且AF=DC，连接CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB=AC，试猜想四边形ADCF的形状，并证明你的结论；（3）△ABC满足什么条件时四边形ADCF为正方形，并证明你的结论．

Answer 1

证明：
（1）∵AF=DC，AF∥BC，∴四边形AFCD为平行四边形，∴AF=CD
又∵E为AD的中点，AF∥BD，∴AE=DE，∠AFE=∠DBE，
在△AEF和△DEB中

∠AEF＝∠BED ∠AFE＝∠DBE AF＝CD

∴△AEF≌△DEB（AAS），
∴BD=AF，∴BD=CD，
即D为BC的中点；

（2）四边形ADCF为矩形；
理由：连接AB，
∵AB=AC，D为BC的中点，
∴AD⊥BC，∴∠ADC=90°
∴平行四边形AFCD为矩形；

（3）当△ABC为等腰直角三角形时，四边形ADCF为正方形；
理由：∵△ABC为等腰直角三角形，D为BC中点，
∴AD⊥BC，AD=

1

2

BC=BD=CD，
∴平行四边形ADCF为矩形，
∴矩形ADCF为正方形．