已知数列{an}满足：a1=2，a2=3，2an+1=3an-an-1（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求使不等式
已知数列{an}满足：a1=2，a2=3，2an+1=3an-an-1（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求使不等式an?man+1?m＜23成立的所有...
已知数列{an}满足：a1=2，a2=3，2an+1=3an-an-1（n≥2）．（1）求数列{an}的通项公式an；（2）求使不等式an?man+1?m＜23成立的所有正整数m，n的值．
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（1）∵2an+1=3an-an-1（n≥2），
∴2（an+1-an）=an-an-1（n≥2），
∴数列{an-an-1}是以a2-a1=1为首项，
为公比的等比数列，
则an?an?1＝(
)n?2，（n≥2），
由累加法得：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=2+1+
+(
)2+…+(
)n?2=4?(
)n?2，（n≥2），
而a1=2也满足上式，则数列{an}的通项公式an=4?(
)n?2；
（2）不等式
＜
即为
＜
，
∴1-
＜(
)n?1＜4-m
∴1-
＜4-m，即m＜4，
当m=1时，
＜(
)n?1＜3，解得n=1，
当m=2时，；
＜(
)n?1＜2，解得n=1，
当m=3时，
＜(
)n?1＜1，解得n=2，．
∴正整数m，n的值为：
∴2（an+1-an）=an-an-1（n≥2），
∴数列{an-an-1}是以a2-a1=1为首项，
| 1 |
| 2 |
则an?an?1＝(
| 1 |
| 2 |
由累加法得：an=a1+（a2-a1）+（a3-a2）+…+（an-an-1）=2+1+
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
而a1=2也满足上式，则数列{an}的通项公式an=4?(
| 1 |
| 2 |
（2）不等式
| an?m |
| an+1?m |
| 2 |
| 3 |
4?(
| ||
4?(
|
| 2 |
| 3 |
∴1-
| m |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴1-
| m |
| 4 |
当m=1时，
| 3 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
当m=2时，；
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
当m=3时，
| 1 |
| 4 |
| 1 |
| 2 |
∴正整数m，n的值为：
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