Question

在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l经过两点（1，-2），（3，2），设圆C的半径为1，圆心在直线l

在平面直角坐标系xOy中，点A（0，3），直线l经过两点（1，-2），（3，2），设圆C的半径为1，圆心在直线l上．（Ⅰ）求直线l的方程；（Ⅱ）若圆C被x轴截得的弦长为3，求圆C的方程；（Ⅲ）若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）由已知，直线l的斜率k＝

2+2

3?1

＝

1

2

，
∴直线l的方程为y-2=

1

2

（x-3），即2x-y-4=0．
（Ⅱ）∵圆C的圆心在直线l上，可设圆心坐标为（a，2a-4），
由已知可得：|2a?4|＝

1

2

，
∴a＝

9

4

或a＝

7

4

，
∴圆C方程为：(x?

9

4

)2+(y?

1

2

)2＝1，或(x?

7

4

)2+(y+

1

2

)2＝1．
（Ⅲ）∵圆C的圆心在在直线l：y=2x-4上，
∴设圆心C为（a，2a-4）
则圆C的方程为：（x-a）²+[y-（2a-4）]²=1，
又∵MA=2MO，
∴设M为（x，y）则

x2+(y?3)2

＝2

x2+y2

整理得：x²+（y+1）²=4设为圆D，
∴点M应该既在圆C上又在圆D上   
即：圆C和圆D有交点
∴|2?1|≤

a2+[(2a?4)?(?1)]2

≤|2+1|，
由5a²-8a+8≥0得x∈R
由5a²-12a≤0得0≤x≤

12

5

终上所述，a的取值范围为：[0，

12

5

]．