Question

如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB．其中Q是PB中点，S

如图P是△ABC所在平面外一点，PA=PB，CB⊥平面PAB，M是PC的中点，N是AB上的点，AN=3NB．其中Q是PB中点，S是AB的中点．求证：（1）AB⊥平面MNQ（2）MN⊥AB．

Answer 1

证明：（1）∵PB的中点为Q，连结MQ，NQ，
∵M是PC的中点，
∴MQ∥BC，
∵CB⊥平面PAB，
∴MQ⊥平面PAB，
∴MQ⊥AB，①
又S是AB的中点，连结QS，则QS∥PA；
∵PA=PB，
∴PS⊥AB；
∴又AN=3NB，
∴BN=NS，
∴QN∥PS，
∴QN⊥AB，②
MQ∩QN=Q，③
由①②③知AB⊥平面QMN；
（2）由（1）知AB⊥平面QMN，又MN?平面QMN，
∴MN⊥AB．