Question

设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF

设F1，F2分别是椭圆E：x2a2+y2b2=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过点F1的直线交椭圆E于A，B两点，|AF1|=3|BF1|，且|AB|=4，△ABF2的周长为16（1）求|AF2|；（2）若直线AB的斜率为1，求椭圆E的方程．

Answer 1

（1）由|AF₁|=3|F₁B|，|AB|=4，得：|AF₁|=3，|F₁B|=1…1分
因为△ABF₂的周长为16，所以由椭圆定义可得4a=16，|AF₁|+|AF₂|=2a=8…3分
故|AF₂|=2a-|AF₁|=8-3=5…4分
（2）由（1）可设椭圆方程为

x2

16

+

y2

b2

＝1，F₁（-c，0），其中c＝

16?b2

设直线AB的方程为y=x+c，即x=y-c，…5分
代入椭圆方程得：b²（y-c）²+16y²=16b²…6分
整理得：（b²+16）y²-2b²cy-b⁴=0…8分
△=4b⁴c²+4b⁴（b²+16）=128b⁴
y₁=

2b2c+8 2 b2

2(b2+16)

，y₂=

2b2c?8 2 b2

2(b2+16)

…10分
由|AF₁|=3|BF₁|知y₁=-3y₂，
得2b2c+8b2

2

＝?3(2b2c?8b2

2

)…12分
又由于c＝

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