Question

已知函数f（x）=ex（ax+b）+x2+2x，曲线y=f（x）经过点P（0，1），且在点P处的切线为l：y=4x+1．（I）求a

已知函数f（x）=ex（ax+b）+x2+2x，曲线y=f（x）经过点P（0，1），且在点P处的切线为l：y=4x+1．（I）求a，b的值；（Ⅱ）若存在实数k，使得x∈[-2，-1]时f（x）≥x2+2（k+1）x+k恒成立，求k的取值范围．

Answer 1

（ I）f'（x）=e^x（ax+a+b）+2x+2…（2分）
依题意，

f′(0)＝4 f(0)＝1

，即

a+b+2＝4 b＝1

，解得

a＝1 b＝1

．…（4分）
（ II）由f（x）≥x²+2（k+1）x+k得：e^x（x+1）≥k（2x+1）．
∵x∈[-2，-1]时，2x+1＜0，
∴f（x）≥x²+2（k+1）x+k即e^x（x+1）≥k（2x+1）恒成立，
当且仅当k≥

ex(x+1)

2x+1

…（6分）
设g(x)＝

ex(x+1)

2x+1

，x∈[?2，?1]，g′(x)＝

ex(2x2+3x)

(2x+1)2

由g'（x）=0得x＝0(舍去)，x＝?

3

2

…（8分）
当x∈(?2，?

3

2

)时，g′(x)＞0；
当x∈(?

3

2

，?1)时，g′(x)＜0∴g(x)＝

ex(x+1)

2x+1

在区间[?2，?1]上的最大值为：g(?

3

2

)＝

1

4

e?

3

2

…（10分）
所以常数k的取值范围为[

1

4

e?

3

2

，+∞)…（12分）