Question

如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、

如图，在四边形ABCD中，E为AB上一点，△ADE和△BCE都是等边三角形，AB、BC、CD、DA的中点分别为P、Q、M、N，（1）试判断四边形PQMN为怎样四边形，并证明你的结论．（2）求∠NMQ的大小．

Answer 1

解答：（1）解：四边形PQMN为菱形．理由如下：
如图，连接BD、AC．
∵△ADE、△ECB是等边三角形，
∴AE=DE，EC=BE，∠AED=∠BEC=60°，
∴∠AEC=∠DEB=120°，
在△AEC与△DEB中，

AE＝DE ∠AEC＝∠DEB EC＝EB

，
∴△AEC≌△DEB（SAS），
∴AC=BD；
∵M、N是CD、AD的中点，
∴MN是△ACD的中位线，即MN=

1

2

AC；
同理可证得：NP=

1

2

DB，QP=

1

2

AC，枝谈轮MQ=

1

2

BD；
∴MN=NP=PQ=MQ，
∴四边形NPQM是菱形；

（2）∵猛信由（1）知，△AEC≌△DEB，
∴∠ACE=∠DBE，
∴∠CEB=∠侍简CAB+∠DBE=∠CAB+∠ACE=60°，
∴∠AOB=120°
又∵∠NMQ=∠DOC=∠AOB，
∴∠NMQ=120°．

Answer 2

先证明MN与PQ PN与MQ平行。
连接AC和BD 根据三角形中位线性质 可以证明。
同理还可以举尘证明PQ等漏搜于MN PN等于MQ
根据菱返答历形的定义，可知该四边形是个菱形

Answer 3

解：四边形PQMN是菱形胡神
证明：连接AC、BD、NQ、MP
∵△DAE和△CEM都是等边仔渗三角形念做脊
∴
AE=DE
CE=EB
∠CEB=∠DEA=60°
∴∠DEB=∠AEC=120°
在△AEC和△DEB中
AE=DE
∠AEC=∠DEB
EC=EB
∴△ACE≌△DBE
∴DB=AC
∵N、M是DA、DC的中点
∴NM∥AC
MN=1/2AC
同理
PQ∥AC
PQ=1/2AC
NP∥DB
NP=1/2DB
MQ∥DB
MQ=1/2DB
∴MN=MQ=QP=NP
∴四边形PQMN是菱形