Question

设a1.a2···an是一组n维向量，证明它们线性无关的充要条件是：任一n维向量能可由它们线性表示

Answer 1

证明：
必要性:
a1,a2,...an线性无关
=> |a1,a2,...an| ≠ 0
=> 对任一n维向量b, (a1,a2,...an)X = b 有解
=> 任一n维向量b都可被a1,a2,...an线性表示
充分性:
因为任一n维向量都可被a1,a2,...an线性表示
所以n维基本向量组ε1,ε2,...,εn可由a1,a2,...an线性表示
所以 n = r(ε1,ε2,...,εn) <= r(a1,a2,...an).
所以 a1,a2,...an 线性无关.

追问

谢谢！