Question

求证不等式:|e^z-1|≤e^|z|-1,其中z为任意复数,请各位帮忙,先谢谢了

Answer 1

想了半天，发现自己想复杂了，其实还是很容易的。

首先，我们需要证明一个不等式：
对任意复数a和b，有|a+b|<=|a|+|b|。
怎么证呢？令a=x+yi,b=p+qi，然后等价于证明(x+p)^2+(y+q)^2<=[√(x^2+y^2)+√(p^2+q^2)]^2
两边平方，整理一下，再两边平方，很容易得证。
然后对它推广，任意a,b,c为复数，必然有|a+b+c|<=||a+b|+c|<=|a+b|+|c|<=|a|+|b|+|c|
按照这个思路，可得：
对任意复数，和的模不大于各自模的和。
于是乎，得到：
|e^z-1|=|z+z^2/2!+z^3/3!+……|<=|z|+|z|^2/2!+|z|^3/3!+……
=e^|z|-1
上面只是用复数域内指数函数的泰勒展开而已。

ps：关于前面引入的|a+b|<=|a|+|b|，有一个直观的理解：平行四边形的对角线之长不大于二邻边长之和。画出复平面，一目了然。

追问

非常感谢，另外在求区域2<Im z<4映射为上半平面的共形映射，这个不太明白，谢谢了

追答

我也不明白~当时学复变函数，老师好像没讲过。。。。。。