Question

如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个

如图，⊙O的半径为1，直线CD经过圆心O，交⊙O于C、D两点，直径AB⊥CD，点M是直线CD上异于点C、O、D的一个动点，AM所在的直线交于⊙O于点N，点P是直线CD上另一点，且PM=PN． （1）当点M在⊙O内部，如图一，试判断PN与⊙O的关系，并写出证明过程；（2）当点M在⊙O外部，如图二，其它条件不变时，（1）的结论是否还成立？请说明理由；（3）当点M在⊙O外部，如图三，∠AMO=15°，求图中阴影部分的面积．

Answer 1

（1）PN与⊙O相切。 （2）成立。 （3） 。

分析：（1）根据切线的判定得出∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA进而求出即可。 （2）根据已知得出∠PNM+∠ONA=90°，进而得出∠PNO=180°﹣90°=90°即可得出答案。 （3）首先根据外角的性质得出∠AON=30°，进而由 ，利用扇形面积和三角形面积公式得出即可。 解：（1）PN与⊙O相切。证明如下： 连接ON，则∠ONA=∠OAN， ∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN。 ∵∠AMO=∠PMN，∴∠PNM=∠AMO。 ∴∠PNO=∠PNM+∠ONA=∠AMO+∠ONA=90°。 ∵ON是⊙O的半径，∴PN与⊙O相切。 （2）成立。理由如下： 连接ON，则∠ONA=∠OAN。 ∵PM=PN，∴∠PNM=∠PMN。 在Rt△AOM中，∵∠OMA+∠OAM=90°， ∴∠PNM+∠ONA=90°。∴∠PNO=180°﹣90°=90°。 ∵ON是⊙O的半径，∴PN与⊙O相切。 （3）连接ON，由（2）可知∠ONP=90°， ∵∠AMO=15°，PM=PN， ∴∠PNM=15°，∠OPN=30°。 ∴∠PON=60°，∠AON=30°。 作NE⊥OD，垂足为点E， 则NE=ON?sin60° 。 ∴   。