Question

已知：如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-1，0）

已知：如图，抛物线y=ax2-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴交于A、B两点，点A的坐标为（-1，0）．（1）求抛物线的解析式及顶点D的坐标；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ACDB面积相等的四边形ACPB的点P的坐标；（3）求△APD的面积．

Answer 1

（1）∵抛物线y=ax²-2ax+c（a≠0）与y轴交于点C（0，3），与x轴
交于A（-1，0）
∴

a+2a+c＝0 c＝3

，
解得

a＝?1 c＝3

，
∴抛物线的解析式为y=-x²+2x+3，
∵y=-（x²-2x）+3=-（x²-2x+1-1）+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4），
答：抛物线的解析式是y=-x²+2x+3，顶点D的坐标是（1，4）．

（2）解：连接BC，过点D作DE⊥x轴于点E．
令y=0则-x²+2x+3=0，
∴x₁=-1，x₂=3
∴点B的坐标为（3，0），
∴S_{四边形ACDB}=S_△AOC+S_梯形OEDC+S_△EBD=

1

2

×1×3+

1

2

×(3+4)×1+

1

2

×2×4＝9
∵S△ABC＝

1

2

×4×3＝6
∴S_△BCD=3
∵点P是在第一象限内抛物线上的一个动点，S_{四边形ACDB}=S_{四边形ACPB}，
∴S_△BCP=S_△BCD=3，
∴点P是过D且与直线BC平行的直线和抛物线的交点，
而直线BC的函数解析式为y=-x+3，
∴设直线DP的函数解析式为y=-x+b，过点D（1，4），
∴-1+b=4，b=5，
∴直线DP的函数解析式为y=-x+5，
把y=-x+5代入y=-x²+2x+3中，解得x₁=1，x₂=2，
∴点P的坐标为（2，3），
答：与四边形ACDB面积相等的四边形ACPB的点P的坐标是（2，3）．

（3）解：∵点P与点C关于DE对称，点B与点A关于DE对称，
∴△APD≌△BCD，
∴S_△APD=S_△BCD=3，
答：△APD的面积是3．