Question

已知函数f（x）=x 2 -2lnx（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：f（x）≥lnx-x+2

已知函数f（x）=x 2 -2lnx（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；（Ⅱ）求证：f（x）≥lnx-x+2．

Answer 1

（Ⅰ）由题意知x＞0，f′（x）=2x- 2 x = 2( x 2 -1) x 2 ，令f′（x）=0，得x=-1（舍）或x=1， 当0＜x＜1时，f′（x）＜0，当x＞1时，f′（x）＞0， 所以f（x）的增区间为（1，+∞），减区间为（0，1）． （Ⅱ）令g（x）=f（x）-（lnx-x+2）=x 2 -3lnx+x-2， g′（x）=2x- 3 x +1= 2 x 2 +x-3 x = (2x+3)(x-1) x ， 令g′（x）＞0，得x＞1，令g′（x）＜0，得0＜x＜1， 所以g（x）在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增， 所以g（x） min =g（1）=0， 所以g（x）≥0，即f（x）≥lnx-x+2．