Question

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=f（x）成立；（2）当x

已知定义域为（0，+∞）的函数f（x）满足：（1）对任意x∈（0，+∞），恒有f（2x）=f（x）成立；（2）当x∈（1，2]时f（x）=2-x．给出结论如下：①对任意m∈Z，有f（2m）=0②当x∈（2，4]时，有f（x）=4-2x；③函数f（x）的值域为[0，1）；④方程f（x）=log3x的实根个数为3；⑤函数f（x）-12在区间（1，+∞）上的零点由小到大组成一个数列{an}．则{an}的通项公式为an=3?2n-2．其中所有正确的结论的序号是______．

Answer 1

①当m∈Z时，在f（2x）=f（x）中令x=2^m，成立f（2^m+1）=f（2^m），∴f（2^m）=f（2）=0，正确；
②x∈（2，4]时，

x

2

∈（1，2]，f（

x

2

）=2-

x

2

，而f（x）=f（

x

2

），∴f（x）=2-

x

2

，错误；
作出f（x）的图象，由图象可知③④正确；

⑤当x∈（2^n-1，2ⁿ]，

x

2n?1

∈（1，2]，f（

x

2n?1

）=2-

x

2n?1

，而f（x）=f（

x

2n?1

），
∴f（x）=2-

x

2n?1

，由2-

x

2n?1

=

1

2

得x=3×2^n-2，
∴则{a_n}的通项公式为a_n=3?2^n-2．正确．
故答案为：①③④⑤．