Question

在数列{an}中，a1=1，an+1＝1?14an，bn＝22an?1，其中n∈N*．（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求证

在数列{an}中，a1=1，an+1＝1?14an，bn＝22an?1，其中n∈N*．（1）求证：数列{bn}是等差数列；（2）求证：在数列{an}中对于任意的n∈N*，都有an+1＜an；（3）设cn＝(2)bn，试问数列{cn}中是否存在三项，它们可以构成等差数列？如果存在，求出这三项；如果不存在，说明理由．

Answer 1

（1）证明：bn+1?bn＝

2

2an+1?1

?

2

2an?1

＝2，
所以数列{b_n}是首项b1＝

2

2a1?1

＝2，公差为2的等差数列；
（2）证明：由（1）知b_n=2n，n∈N^*，
所以闭胡an＝

n+1

2n

＝

1

2

(1+

1

n

)，an+1＝

1

2

(1+

1

n+1

)，
所以an+1?an＝

1

2

(1+

1

n

)?

1

2

(1+

1

n+1

)＝

1

2

(

1

n+1

?

1

n

)＜0．
即：对任意的n∈N^*，a_n+1＜a_n
（3）解：由（2）知，cn＝(

2

)2n＝2n，
假设在{c_n}中存在第m，p，q（m＜p＜q，且m，p，q∈N^*）项成等差数列，
则：2?2^P=2^m+2^q，∴链梁2^p+1=2^m+2^q，∴2^p+1-m=2^q-m+1，
因为m，p，q∈N^*
所以2^p+1-m为偶数，2^q-m+1为奇数，两者不可能相等，即假设不成立，
所以在数列{c_n}中不轿唤拦存在三项可以构成等差数列．