已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；（2）若a=0，且曲
已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；（2）若a=0，且曲线y=f（x）在点A、B（A、B不重合）处切...
已知函数f（x）=x3+ax2-a2x+2，a∈R．（1）若a＜0时，试求函数y=f（x）的单调递减区间；（2）若a=0，且曲线y=f（x）在点A、B（A、B不重合）处切线的交点位于直线x=2上，证明：A、B 两点的横坐标之和小于4；（3）如果对于一切x1、x2、x3∈[0，1]，总存在以f（x1）、f（x2）、f（x3）为三边长的三角形，试求正实数a的取值范围．
展开
1个回答
展开全部
（1）解：f'（x）=3x2+2ax-a2=3（x+a）（x-
）
令f'（x）＜0，∵a＜0，∴
＜x＜?a
∴函数单调递减区间[
，-a]；
（2）证明：当a=0时，f（x）=x3+2
设在点A（x1，x13+2）、B（x2，x23+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），
∵y′=3x2，∴在点A处的切线斜率为k=3x12
∴在A处的切线方程为y-（x13+2）=3x12（（x-x1）
∵切线过点P，∴t-（x13+2）=3x12（（2-x1）
∴2x13?6x12+(t?2)＝0①
同理2x23?6x22+(t?2)＝0②
①-②可得2(x13?x23)?6(x12?x22)＝0
∵x1≠x2，∴(x1+x2)2?x1x2?3(x1+x2)＝0
∵x1≠x2，∴x1x2＜(
)2
∴(x1+x2)2?(
)2?3(x1+x2)＜0
∴0＜x1+x2＜4
∴A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）解：由题设知，f（0）＜f（1）+f（1），即2＜2（-a2+a+3），∴-1＜a＜2
∵a＞0，∴0＜a＜2
∵f′(x)＝3(x+a)(x?
)
∴x∈(0，
)时，f′（x）＜0，f（x）单调递减；当x∈(
，1)时，f′（x）＞0，f（x）单调递增
∴当x=
| a |
| 3 |
令f'（x）＜0，∵a＜0，∴
| a |
| 3 |
∴函数单调递减区间[
| a |
| 3 |
（2）证明：当a=0时，f（x）=x3+2
设在点A（x1，x13+2）、B（x2，x23+2）处切线的交点位于直线x=2上一点P（2，t），
∵y′=3x2，∴在点A处的切线斜率为k=3x12
∴在A处的切线方程为y-（x13+2）=3x12（（x-x1）
∵切线过点P，∴t-（x13+2）=3x12（（2-x1）
∴2x13?6x12+(t?2)＝0①
同理2x23?6x22+(t?2)＝0②
①-②可得2(x13?x23)?6(x12?x22)＝0
∵x1≠x2，∴(x1+x2)2?x1x2?3(x1+x2)＝0
∵x1≠x2，∴x1x2＜(
| x1+x2 |
| 2 |
∴(x1+x2)2?(
| x1+x2 |
| 2 |
∴0＜x1+x2＜4
∴A、B 两点的横坐标之和小于4；
（3）解：由题设知，f（0）＜f（1）+f（1），即2＜2（-a2+a+3），∴-1＜a＜2
∵a＞0，∴0＜a＜2
∵f′(x)＝3(x+a)(x?
| a |
| 3 |
∴x∈(0，
| a |
| 3 |
| a |
| 3 |
∴当x=
