Question

如图所示，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且 AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．（1）当直线M

如图所示，已知，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，直线MN经过点C，且 AM⊥MN于M，BN⊥MN于N．（1）当直线MN绕点C旋转到图①的位置时，求证：MN=AM+BN；（2）当直线MN绕点C旋转到图②的位置时，（1）中的结论还成立吗？若成立，请给出证明；若不成立，写出线段AM、BN与MN之间的数量关系？并说明理由．

Answer 1

证明：（1）∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中
∵

∠AMC＝∠CNB ∠MAC＝∠NCB AC＝CB

，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=NC+CM，
∴MN=AM+BN；
（2）结论：MN=NB-AM，理由为：
证明：∵AM⊥MN，BN⊥MN，
∴∠AMC=∠CNB=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠MAC+∠ACM=90°，∠NCB+∠ACM=90°，
∴∠MAC=∠NCB，
在△AMC和△CNB中
∵

∠AMC＝∠CNB ∠MAC＝∠NCB AC＝CB

，
∴△AMC≌△CNB（AAS），
∴AM=CN，MC=NB，
∵MN=CM-CN，
∴MN=BN-AM．