Question

已知正项数列{an}满足a1=a（0＜a＜1），且an+1=an1+an（n∈N*）（1）求a2，a3，a4；（2）求证：数列{1an}

已知正项数列{an}满足a1=a（0＜a＜1），且an+1=an1+an（n∈N*）（1）求a2，a3，a4；（2）求证：数列{1an}为等差数列；（3）求证：a12+a23+…+ann+1＜1．

Answer 1

解答：（1）解：由题意，a2＝

a

1+a

，a3＝

a

1+2a

，a4＝

a

1+3a

；
（2）证明：∵a_n+1=

an

1+an

，
∴

1

an+1

＝1+

1

an

，

1

an+1

?

1

an

＝1．
即数列{

1

an

}是首项为

1

a

，公差为1的等差数列；
（3）证明：∵数列{

1

an

}是首项为

1

a

，公差为1的等差数列，
∴

1

an

＝

1

a

+(n?1)，
an＝

a

1+(n?1)a

＝

1

1 a +(n?1)

＜

1

n

(0＜a＜1)．
∴

1

1×2

+

1

2×3

+…+

1

n(n+1)

＝1?

1

n+1

＜1．