Question

高二数学一道解析几何问题要过程 求高手解答

将平面内动点M到两条直线l1 ，l2的距离分别记作d1 ，d2。

（1）若直线l1 l2的方程分别为：y=x ；y=-x , d1^2 - d2^2的绝对值=2 求动点M的轨迹方程
（2）若直线l1 l2的方程分别为：y=(tanp) x ；y= - (tanp) x ，圆x^2+y^2=3的一条切线l交满足条件：d1^2+d2^2=6的动点M的轨迹于A,B两点 试判断：对于任意给定的角p （0<p<45度) 角AOB的大小是否为定值，若是定值，求出此定值；若不是，请说明理由

Answer 1

解：（1）两直线方程分别为：x-y=0, x+y=0

设动点M的坐标为M(x,y)，则有

d1²=(x-y)²/2，d2²=(x+y)²/2

|d1²-d2²|=|(x-y)²-(x+y)²|/2=2

即 |(x-y)²-(x+y)²|=4

即 |xy|=1

此即动点M的轨迹方程，其图像为对称的2对双曲线

（2）两直线方程分别为：x*tanp-y=0, x*tanp+y=0

设动点M的坐标为M(x,y)，则有

d1²=(x*tanp-y)²/(1+tan²p)，d2²=(x*tanp+y)²/(1+tan²p)

d1²+d2²=2(x²*tan²p+y²)/(1+tan²p)=6

即 (x²*tan²p+y²)/(1+tan²p)=3

即 x²/[3(1+1/tan²p)]+y²/[3(1+tan²p)]=1

这是一个椭圆方程

设圆的切线与椭圆的交点为A(x1,y1),B(x2,y2)

设切线在圆上的切点为C(m,n)，则有

切线斜率为 y'=-m/n=(y1-y2)/(x1-x2)           (1)

C在圆O上则有 m²+n²=3              (2)

A,B在椭圆上，则有

(x1²*tan²p+y1²)/(1+tan²p)=3            (3)

(x2²*tan²p+y2²)/(1+tan²p)=3            (4)

联立(1)(2)(3)(4)，整理可得

x1x2+y1y2=0

∵OA²=x1²+y1²，OB²=x2²+y2²

AB²=(x1-x2)²+(y1-y2)²=(x1²+x2²)+(y1²-y2²)-2(x1x2-y1y2)=(x1²+y1²)+(x2²+y2²)

∴OA²+OB²=AB²

即∠AOB=π/2，为定值，与p无关

Answer 2

解：连接AB，再过A、B作两条直线，都与线段AB垂直，此时就是最大值，最小值就是作的两条直线都过AB的时候，此时d最小为零。最大是方程分别是y＋3x—20＝0、y＋3x＋10＝0。

追问

你说的不是这道题吧