Question

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针

在△ABC中，AC=BC，∠ACB=90°，点D为AC的中点．（1）如图1，E为线段DC上任意一点，将线段DE绕点D逆时针旋转90°得到线段DF，连接CF，过点F作FH⊥FC，交直线AB于点H．判断FH与FC的数量关系并加以证明；（2）如图2，若E为线段DC的延长线上任意一点，（1）中的其他条件不变，你在（1）中得出的结论是否发生改变，直接写出你的结论，不必证明．

Answer 1

（1）FH与FC的数量关系是：FH=FC． 证明如下：延长DF交AB于点G， 由题意，知∠EDF=∠ACB=90°，DE=DF， ∴DG ∥ CB， ∵点D为AC的中点， ∴点G为AB的中点，且 DC= 1 2 AC ， ∴DG为△ABC的中位线， ∴ DG= 1 2 BC ． ∵AC=BC， ∴DC=DG， ∴DC-DE=DG-DF， 即EC=FG． ∵∠EDF=90°，FH⊥FC， ∴∠1+∠CFD=90°，∠2+∠CFD=90°， ∴∠1=∠2． ∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形， ∴∠DEF=∠DGA=45°， ∴∠CEF=∠FGH=135°， ∴△CEF≌△FGH， ∴CF=FH． （2）FH与FC仍然相等． 理由：由题意可得出：DF=DE， ∴∠DFE=∠DEF=45°， ∵AC=BC， ∴∠A=∠CBA=45°， ∵DF ∥ BC， ∴∠CBA=∠FGB=45°， ∴∠FGH=∠CEF=45°， ∵点D为AC的中点，DF ∥ BC， ∴DG= 1 2 BC，DC= 1 2 AC， ∴DG=DC， ∴EC=GF， ∵∠DFC=∠FCB， ∴∠GFH=∠FCE， 在△FCE和△HFG中 ∠CEF=∠FGH EC=GF ∠ECF=∠GFH ， ∴△FCE≌△HFG（ASA）， ∴HF=FC．