Question

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数． 当一，b∈[-1，1]，且一+b≠口时，有f(一)+f(b)一+b＞口成立．（

已知f（x）是定义在[-1，1]上的奇函数． 当一，b∈[-1，1]，且一+b≠口时，有f(一)+f(b)一+b＞口成立．（Ⅰ）判断函f（x）的单调性，并证明；（Ⅱ）若f（1）=1，且f（x）≤m8-8bm+1对所有x∈[-1，1]，b∈[-1，1]恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）在[-它，它]上为增函数
证明：设x_它，x₂∈[-它，它]，且x_它＜x₂，在

f(a)+f(b)

a+b

＞0中，令a=x_它，b=-x₂，有

f(x它)+f(?x2)

x它?x2

＞0，
∵x_它＜x₂，∴x_它-x₂＜0，又∵f（x）是奇函数，
∴f（-x₂）=-f（x₂），∴

f(x它)?f(x2)

x它?x2

＞0
∴f（x_它）-f（x₂）＜0，即f（x_它）＜f（x₂）．
故f（x）在[-它，它]上为增函数…（6分）
（Ⅱ）∵f（它）=它  且f（x ）在[-它，它]上为增函数，对x∈[-它，它]，有f（x）≤f（它）=它．
由题意，对所有的x∈[-它，它]，b∈[-它，它]，有f（x）≤m²-2bm+它恒成立，
应有m²-2bm+它≥它?m²-2bm≥0．  记g（b）=-2mb+m²，对所有的b∈[-它，它]，g（b）≥0成立．
只需g（b）在[-它，它]上的最小值不小于零…（8分）
若m＞0时，g（b）=-2mb+m²是减函数，故在[-它，它]上，b=它时有最小值，
且[g（b）]_最小值=g（它）=-2m+m²≥0?m≥2；
若m=0时，g（b）=0，这时[g（b）]_最小值=0满足题设，故m=0适合题意；
若m＜0时，g（b）=-2mb+m²是增函数，故在[-它，它]上，b=-它时有最小值，
且[g（b）]_最小值=g（-它）=2m+m²≥0?m≤-2．
综上可知，符合条件的m的取值范围是：m∈（-∞，-2]∪{0}∪[2，+∞）．