Question

如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC垂足分别为，E、F，（1）请你猜想EF和PD有何

如图①，在正方形ABCD中，P是对角线AC上一点，PE⊥AB，PF⊥BC垂足分别为，E、F，（1）请你猜想EF和PD有何关系，并证明； （2）如图②若点P是对角线AC延长线上任意一点，其它条件不变，请根据已知补全图形，并判断（1）中你所猜想的结论还成立吗？（不需要证明）

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Answer 1

解：（1）PD与EF垂直且相等； 证明：过P作PM⊥CD，PN⊥AD， ∵AC是正方形对角线， ∴PM=PF，PE=PN， ∵PM⊥CD，PN⊥AD， ∴PNDM为矩形， ∴PN=DM， ∴PE=PN=DM， ∵PM=PF，PE=PN=DM，∠PMD=∠FPE=90°， ∴△PMD≌△FPE， ∴PD=EF，∠PEF=∠PDM，∠DPM=∠EFP， 延长DP与EF相交于G， ∵∠DPM=∠EPG，∠PEF=∠PDM ∴∠EPG+∠PEF=90°， ∴EF⊥PD； （2）画图，（1）中所猜想的结论仍然成立．