Question

已知a、b、c、d是非零实数，并满足 a+b+c-d d = a+b-c+d c = a-b+c+d b =

已知a、b、c、d是非零实数，并满足 a+b+c-d d = a+b-c+d c = a-b+c+d b = -a+b+c+d a ，则代数式 (a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d) abcd 的值是（　　） A．81 B．3 C．81或1 D．3或1

Answer 1

∵ a+b+c-d d = a+b-c+d c = a-b+c+d b = -a+b+c+d a ， ∴ a+b+c d - d d = a+b+d c - c c = a+c+d b - b b = b+c+d a - a a ， ∴ a+b+c d -1= a+b+d c -1= a+c+d b -1= b+c+d a -1， ∴ a+b+c d = a+b+d c = a+c+d b = b+c+d a ． 分两种情况： ①当a+b+c+d=0时， (a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d) abcd = (-d)(-a)(-c)(-b) abcd =1； ②当a+b+c+d≠0时， 设 a+b+c d = a+b+d c = a+c+d b = b+c+d a =k， 则k= (a+b+c)+(a+b+d)+(a+c+d)+(b+c+d) d+c+b+a = 3a+3b+3c+3d a+b+c+d =3， a+b+c=3d，a+b+d=3c，a+c+d=3b，b+c+d=3a， ∴ (a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d) abcd = 3d?3a?3c?3b abcd =81． 综上可知，代数式 (a+b+c)(b+c+d)(a+b+d)(a+c+d) abcd 的值是1或81． 故选C．