Question

已知函数f（x）满足f（x）=f（3x），当x∈[1，3），f（x）=lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-a

已知函数f（x）满足f（x）=f（3x），当x∈[1，3），f（x）=lnx，若在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（　　） A． ( ln3 3 ， 1 e ) B． ( ln3 9 ， 1 3e ) C． ( ln3 9 ， 1 2e ) D． ( ln3 9 ， ln3 3 )

Answer 1

设x∈[3，9），则 x 3 ∈[1，3） ∵x∈[1，3），f（x）=lnx， ∴f（ x 3 ）=ln x 3 ， ∵函数f（x）满足f（x）=f（3x）， ∴f（ x 3 ）=f（x）=ln x 3 ， ∴f（x）= lnx，1≤x＜3 ln x 3 ，3≤x＜9 ， ∵在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点， ∴f（x）-ax=0在区间[1，9）上有三个解，即a= f(x) x 有三个解， 则y=a与h（x）= f(x) x 的图象有三个交点， 当x∈[1，3），h（x）= f(x) x = lnx x ，则h′（x）= 1-lnx x 2 =0，解得x=e， ∴当x∈[1，e）时，h′（x）＞0，当x∈（e，3）时，h′（x）＜0即函数h（x）= f(x) x = lnx x 在[1，e）上单调递增，在（e，3）上单调递减， ∴当x=e处，函数h（x）= f(x) x = lnx x 在[1，3）上取最大值 1 e ， 当x∈[3，9），h（x）= f(x) x = ln x 3 x ，则h′（x）= 1-ln x 3 x 2 =0，解得x=3e， ∴当x∈[3，3e）时，h′（x）＞0，当x∈（3e，9）时，h′（x）＜0即函数h（x）= f(x) x = ln x 3 x 在[3，3e）上单调递增，在（3e，9）上单调递减， ∴当x=3e处，函数h（x）= f(x) x = ln x 3 x 在[3，9）上取最大值 1 3e ， 根据函数的单调性，以及h（1）=0，h（e）= 1 e ，h（3）=0，h（3e）= 1 3e ，h（9）= ln3 9 ，画出函数的大值图象， 根据图象可知y=a与h（x）在[1，3）上一个交点，在[3，3e） 上两个交点， ∴在区间[1，9）内，函数g（x）=f（x）-ax有三个不同零点，则实数a的取值范围是（ ln3 9 ， 1 3e ）． 故选：B．