Question

如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC边的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥FD，EG⊥BC于G点，

如图，等腰Rt△ABC中，AB=AC，∠A=90°，点D为BC边的中点，E、F分别在AB、AC上，且ED⊥FD，EG⊥BC于G点，FH⊥BC于H点，下列结论：①DE=DF；②AE+AF=AB；③S四边形AEDF=12S△ABC；④EG+FH=12BC．其中正确结论的序号是（　　）A．只有②③B．只有①②C．只有①②③D．①②③④

Answer 1

解：如图所示，
∵DE⊥DF，∴∠EDG+∠FDH=90°
∵∠EDG+∠GED=90°∴∠GED=∠FDH，
∴Rt△EGD≌Rt△DHF，∴DE=DF，①正确；
连接AD，由①得，DE=DF，
∵DC=AD，∠FDC=∠ADE，
∴可证△AED≌△CFD，
∴FC=AE，∴AE+AF=AB，②正确，
∵BE=AF，∠CAD=∠B=45°，AD为公共边，
∴△ADF≌△DEB，又△AED≌△CFD，∴③也正确，
④中由①得GD=FH，又∠B=45°
∴BG=EG，EG+FH=

1

2

BC，④正确
∴①②③④都正确，故选D．