Question

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S n ＋n＝2a n (n∈N * )．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并

已知数列{a n }的前n项和为S n ，且满足S n ＋n＝2a n (n∈N * )．(1)证明：数列{a n ＋1}为等比数列，并求数列{a n }的通项公式；(2)若b n ＝(2n＋1)a n ＋2n＋1，数列{b n }的前n项和为T n .求满足不等式>2 010的n的最小值．

Answer 1

（1）a n ＝2 n －1.（2）10

试题分析：（1）由 将前n项和化为通项公式 关系式，利用等比数列定义证明；（2）有一个等差数列与一个等比数列对应项的积构成的新数列的和，通常将和式两边乘公比，再两式相减，得新等比数列，此法称错位相消法. 试题解析：(1)因为S n ＋n＝2a n ，所以S n －1 ＝2a n －1 －(n－1)(n≥2，n∈N * )．两式相减，得a n ＝2a n －1 ＋1. 所以a n ＋1＝2(a n －1 ＋1)(n≥2，n∈N * )，所以数列{a n ＋1}为等比数列． 因为S n ＋n＝2a n ，令n＝1得a 1 ＝1.a 1 ＋1＝2，所以a n ＋1＝2 n ，所以a n ＝2 n －1. (2)因为b n ＝(2n＋1)a n ＋2n＋1，所以b n ＝(2n＋1)·2 n . 所以T n ＝3×2＋5×2 2 ＋7×2 3 ＋…＋(2n－1)·2 n －1 ＋(2n＋1)·2 n ，  ① 2T n ＝3×2 2 ＋5×2 3 ＋…＋(2n－1)·2 n ＋(2n＋1)·2 n ＋1 ，    ② ①－②，得－T n ＝3×2＋2(2 2 ＋2 3 ＋…＋2 n )－(2n＋1)·2 n ＋1 ＝6＋2×－(2n＋1)·2 n ＋1 ＝－2＋2 n ＋2 －(2n＋1)·2 n ＋1 ＝－2－(2n－1)·2 n ＋1 . 所以T n ＝2＋(2n－1)·2 n ＋1 . 若>2 010，则>2 010，即2 n ＋1 >2 010. 由于2 10 ＝1 024,2 11 ＝2 048，所以n＋1≥11，即n≥10. 所以满足不等式>2 010的n的最小值是10.