Question

已知抛物线的顶点为y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（-1，yC）

已知抛物线的顶点为y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA），B（0，yB），C（-1，yC）在该抛物线上，当y0≥0恒成立时，yAyB?yC的最小值为（　　）A．1B．2C．4D．3

Answer 1

由0＜2a＜b，得x₀=-

b

2a

＜-1，
由题意，如图，过点A作AA₁⊥x轴于点A₁，则AA₁=y_A，OA₁=1，
连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=y_B-y_C，CD=1，
过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x₁，y_E），交x轴于点F（x₂，0），
则∠FAA₁=∠CBD．
于是Rt△AFA₁∽Rt△BCD，
所以

AA1

BD

=

FA1

CD

，即

yA

yB?yC

=

1?x2

1

，
过点E作EG⊥AA₁于点G，
易得△AEG∽△BCD．
有

AG

BD

=

EG

CD

，即

yA?yE

yB?yC

=

1?x1

1

，
∵点A（1，y_A）、B（0，y_B）、C（-1，y_C）、E（x₁，y_E）在抛物线y=ax²+bx+c上，
得y_A=a+b+c，y_B=c，y_C=a-b+c，y_E=ax₁²+bx₁+c，
∴

yA?yE

yB?yC

=

a+b+c?(ax12+bx1+c)

c?(a?b+c)

=1-x₁，
化简，得x₁²+x₁-2=0，解得x₁=-2（x₁=1舍去），
∵y₀≥0恒成立，根据题意，有x₂≤x₁＜-1，
则1-x₂≥1-x₁，即1-x₂≥3．
∴

yA

yB?yC

≥3，
∴

yA

yB?yC

的最小值为3．
故选：D．