Question

（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延

（1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．（2）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

Answer 1

解：（1）猜想线段GF=GC，
证明：连接EG，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，
∴EF=EC，
∵EG=EG，∠C=∠EFG=90°，
∴△ECG≌△EFG（HL），
∴FG=CG；

（2）（1）中的结论仍然成立．
证明：连接EG，FC，
∵E是BC的中点，
∴BE=CE，
∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，
∴BE=EF，∠B=∠AFE，
∴EF=EC，
∴∠EFC=∠ECF，
∵矩形ABCD改为平行四边形，
∴∠B=∠D，
∵∠ECD=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，
∴∠ECD=∠EFG，
∴∠GFC=∠GFE-∠EFC=∠ECG-∠ECF=∠GCF，
∴∠GFC=∠GCF，
∴FG=CG；
即（1）中的结论仍然成立．