Question

已知函数f（x）=x-alnxx，其中a为常数，若当a=1时，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，求实数b的

已知函数f（x）=x-alnxx，其中a为常数，若当a=1时，不等式f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，求实数b的取值范围．

Answer 1

当a=1时，f（x）=x-

alnx

x

，
∴f′（x）=1-

1?lnx

x2

，即f′（x）=

x2+lnx?1

x2

，
令f'（x）=0，得x=1．

x	（0，1）	1	（1，+∞）
f'（x）	-	0	+
f（x）	单调递减	极小值	单调递增

∴f_min（x）=f（1）=1，
∵f（x）+2b≤0在x∈（0，+∞）上有解，
∴-2b≥f_min（x），即-2b≥1，
∴实数b的取值范围为（-∞，?

1

2

]．