Question

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否

已知中心在坐标原点O的椭圆C经过点A（2，3），且点F（2，0）为其右焦点．（1）求椭圆C的方程；（2）是否存在平行于OA的直线l，使得直线l与椭圆C有公共点，且直线OA与l的距离等于4？若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）依题意，可设椭圆C的方程为

x2

a2

+

y2

b2

＝1（a＞0，b＞0），且可知左焦点为
F（-2，0），从而有

c＝2 2a＝|AF|+|AF′|＝8

，解得c=2，a=4，
又a²=b²+c²，所以b²=12，故椭圆C的方程为

x2

16

+

y2

12

＝1．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=

3

2

x+t，
由

y＝ 3 2 x+t x2 16 + y2 12 ＝1

得3x²+3tx+t²-12=0，
因为直线l与椭圆有公共点，所以有△=（3t）²-4×3（t²-12）≥0，解得-4

3

≤t≤4

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