Question

设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2Sn+2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}的各项均为

设数列{an}的前n项和为Sn，且a1=2，an+1=2Sn+2．（1）求数列{an}的通项公式；（2）若数列{bn}的各项均为正数，且bn是nan与nan+2的等比中项，求bn的前n项和Tn．

Answer 1

（1）由a_n+1=2S_n+2，得
a_n=2S_n-1+2（n≥2），
两式作差得：a_n+1-a_n=2（S_n-S_n-1）=2a_n，
即

an+1

an

＝3(n≥2)．
又a₂=2S₁+2=2a₁+2=6，
∴

a2

a1

＝3．
∴数列{a_n}是以2为首项，以3为公比的等比数列．
则an＝2?3n?1；
（2）∵数列{b_n}的各项均为正数，且b_n是

n

an

与

n

an+2

的等比中项，
∴bn2＝

n

2?3n?1

?

n

2?3n+1

＝

n2

4?32n

，
bn＝

n

2?3n

．
∴Tn＝

1

2×31

+

2

2×32

+

3

2×33

+…+

n

2?3n

．

1

3

Tn＝

1

2×32

+

2

2×33

+…+

n

2?3n+1

．
作差得：

2

3

Tn＝

1

2×31

+

1

2×32

+…+

1

2?3n

?

n

2?3n+1

=

1

2

×

1 3 (1? 1 3n )

1? 1 3

?

n

2?3n+1

=

1

4

(1?

1

3n

)．
∴Tn＝

3

8

(1?

1

3n

)．