Question

线性代数，试求一个正交相似变换矩阵，将下列对称阵化为对角阵 2 2 -2 2 5

线性代数，试求一个正交相似变换矩阵，将下列对称阵化为对角阵
2 2 -2
2 5 -4
-2 -4 5

Answer 1

解: |A-λE|=
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
-2 -4 5-λ

r3+r2
2-λ 2 -2
2 5-λ -4
0 1-λ 1-λ

c2-c3
2-λ 4 -2
2 9-λ -4
0 0 1-λ
= (1-λ)[(2-λ)(9-λ)-8] (按第3行展开, 再用十字相乘法)
= (1-λ)(λ^2-11λ+10)
= (10-λ)(1-λ)^2.

A的特征值为: λ1=10,λ2=λ3=1.

(A-10E)X=0 的基础解系为 a1=(1,2,-2)'
(A-E)X=0 的基础解系为 a2=(2,-1,0)',a3=(2,4,5)--已正交

单位化构成矩阵 Q =
1/3 2√5 2/√45
2/3 -1√5 4/√45
-2/3 0 5/√45
则Q是正交矩阵,且 Q^-1AQ=diag(10,1,1).

追问

基础解系是怎么得出来的？

追答

啊，基础解系不会求？
系数矩阵化行最简形就行了

追问

化了之后就不会了

追答

写出同解方程组

追问

这个知道，自由未知数怎么取就不造了

追答

自由未知量只有一个时取1, 有两个时分别取 1,0 和 0,1 (线性无关就可以)