Question

已知：直线y=﹣2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=9

已知：直线y=﹣2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B，以线段AB为直角边在第一象限内作等腰直角△ABC，∠BAC=90°，过C作CD⊥x轴于D．求：（1）点A、B的坐标； （2）AD的长； （3）过A、B、C三点的抛物线的解析式； （4）在x轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，求出所有符合条件的P点的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）直线y=﹣2x+2分别与x轴、y轴相交于点A、B， 令y=0得﹣2x+2=0，解得：x=1； 令x=0，解得y=2， ∴A（1，0），B（0，2）； （2）∵∠BAC=90°，AB=AC， ∴∠BAO+∠CAD=90°， 又∠AOB=90°， ∴∠BAO+∠ABO=90°， ∴∠ABO=∠CAD， 在△ABO和△CAD中， ， ∵△ABO≌△CAD（AAS）， ∴OB=AD=2； （3）∵△ABO≌△CAD， ∴OA=CD=1，AD=OB=2， ∴OD=3， ∴C（3，1）， 设过A、B、C三点的抛物线的解析式为y=ax 2 +bx+c，把三点坐标代入得： ， 解得 ， ∴ ； （4）存在3个点使△BCP为等腰三角形， ①当B为顶点，BC=BP时，如图所示：

在直角三角形AOB中，OA=1，OB=2， 根据勾股定理得：AB= = ， ∴AC=AB= ，又△ABC为等腰直角三角形， ∴BP=BC= ，在直角三角形OBP 1 中，OP 1 = = ， 同理OP 2 = ， 则P 1 （﹣ ，0），P 2 （ ，0）； ②当C为顶点，CB=CP时，P 3 （6，0）， 此时B、C、P 在同一直线上，P 3 舍去；③当P为顶点，PA=PB时，P 4 为线段BC垂直平分线与x轴的交点， 又∵AB=AC，此时P 4 与A重合， 则P4（1，0）， 综上，满足题意的坐标为P 1 （﹣ ，0），P 2 （ ，0），P 3 （1，0）