Question

阅读下文，寻找规律：已知x≠1，观察下列各式：（1﹣x）（1+x）=1﹣x 2 ，（1﹣x）（1+x+x 2 ）=1﹣x 3

阅读下文，寻找规律：已知x≠1，观察下列各式：（1﹣x）（1+x）=1﹣x 2 ，（1﹣x）（1+x+x 2 ）=1﹣x 3 ，（1﹣x）（1+x+x 2 +x 3 ）=1﹣x 4 …（1）填空：（1﹣x）（1+x+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 ）=1﹣x 8 ．（2）观察上式，并猜想：①（1﹣x）（1+x+x 2 +…+x n ）= _________ ．②（x﹣1）（x 10 +x 9 +…+x+1）= _________ ．（3）根据你的猜想，计算：①（1﹣2）（1+2+2 2 +2 3 +2 4 +2 5 ）= _________ ．②1+2+2 2 +2 3 +2 4 +…+2 2007 = _________ ．

Answer 1

解： （1）由（1﹣x）（1+x）=1﹣x 2 ， （1﹣x）（1+x+x 2 ）=1﹣x 3 ， （1﹣x）（1+x+x 2 +x 3 ）=1﹣x 4 可以看出每一个等式皮斗左边的最大指数等于右边的最大指数，且左边相当于对右边的燃此磨因式分解，所以得出规律： （1﹣x）（1+x+x 2 +…+x n ）=1﹣x n+1 ． 即：（1﹣x）（1+x+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 ）=1﹣x 8 ， 空白处应填：（1+x+x 2 +x 3 +x 4 +x 5 +x 6 +x 7 ）． （2）由（1）得出的规律可得： ①（1﹣x）（1+x+x 2 +…+x n ）=1﹣x n+1 ， 空白处应填：1﹣x n+1 ②（x﹣1）（x 10 +x 9 +…+x+1）=﹣（1﹣x 11 ）=x 11 ﹣1，扒滚 空白处应填：x 11 ﹣1． （3）由（1）得出的规律可得 ①（1﹣2）（1+2+2 2 +2 3 +2 4 +2 5 ）=1﹣2 6 ， 空白处应填1﹣2 6 ； ②由（1﹣2）（1+2+2 2 +2 3 +2 4 +…+2 2007 ）=1﹣2 2008 得1+2+2 2 +2 3 +2 4 +…+2 2007 =2 2008 ﹣1， 空白处应填2 2008 ﹣1．