Question

已知函数 f(x)= lnx x ．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及其极值；（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+

已知函数 f(x)= lnx x ．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间及其极值；（Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞），都有 x(x-1 ) 2 e x + x e ＞lnx 成立．

Answer 1

（Ⅰ）f′（x）= 1-lnx x 2 =0，解得x=e， 又x∈（0，+∞）， 当x＞e时，f′（x）＜0，函数为减函数；当0＜x＜e时，f′（x）＞0，函数为增函数． 所以f（x）的极大值为 f(e)= lne e = 1 e ； （Ⅱ）证明：对一切x∈（0，+∞）， 都有 x(x-1 ) 2 e x + x e ＞lnx 成立则有 (x-1 ) 2 e x + 1 e ＞ lnx x ， 由（Ⅰ）知，f（x）的最大值为 f(e)= 1 e ， 并且 (x-1 ) 2 e x + 1 e ≥ 1 e 成立，当且仅当x=1时成立， 函数 (x-1 ) 2 e x + 1 e 的最小值大于等于函数 f(x)= lnx x 的最大值， 但等号不能同时成立． 所以，对一切x∈（0，+∞），都有 x(x-1 ) 2 e x + x e ＞lnx 成立．