Question

如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界．磁场中有一半径为R、轴线与磁场平

如图所示，匀强磁场的磁感应强度为B，方向垂直纸面向里，MN为其左边界．磁场中有一半径为R、轴线与磁场平行的金属圆筒，圆筒的圆心O到MN的距离OO 1 =3R，O 1 O所在直线与圆筒右侧壁交于A点．圆筒通过导线和电阻r 0 接地．现有范围足够大的平行电子束以相同的速度从很远处垂直于MN向右射入磁场区．当金属圆筒最初不带电时，圆筒上以A点和C点为界，在ADC弧上各点都能接收到电子，而AEC弧上各点均不能接收到电子；当圆筒上电荷量达到相对稳定后，通过电阻r 0 的电流恒为I．已知电子质量为m，电荷量为e，忽略运动电子间的相互作用和圆筒的电阻，取大地为零电势点．求：（1）电子射入磁场时的初速度v 0 ；（2）电阻r 0 的电流恒定时金属圆筒的电势φ；（3）电阻r 0 的电流恒定时电子到达圆筒时速度v和金属圆筒的发热功率P．

Answer 1

（1）根据题意，电子在磁场中运动的轨道半径必定是r=4R，如图所示．由   qvB=m v 0 2 r 得： v 0 = 4eBR m （2）稳定时，圆柱体上电荷不再增加，与地面电势差恒为U U=Ir 0 电势 φ=-Ir 0 （3）电子从很远处射到圆柱表面时速度满足 -eU= 1 2 m v 2 - 1 2 m v 0 2 得： v= v 0 2 - 2eI r 0 m 电流为I，单位时间到达圆筒的电子数： n= I e 电子所具有总能量： E=n× 1 2 m v 0 2 = mI v 0 2 2e 消耗在电阻上的功率 P r =I 2 r 0 所以圆筒发热功率： P= mI v 0 2 2e - I 2 r 0 答： （1）电子射入磁场时的初速度： v 0 = 4eBR m （2）电阻r 0 的电流恒定时金属圆筒的电势：-Ir 0 （3）电阻r 0 的电流恒定时电子到达圆筒时速度： v= v 0 2 - 2eI r 0 m 金属圆筒的发热功率： P= mI v 0 2 2e - I 2 r 0