已知函数f（x）=lnx，其导函数为f′（x），令φ（x）=f′（x）．（1）设g（x）=f（x+a）+φ（x+a），求函
已知函数f（x）=lnx，其导函数为f′（x），令φ（x）=f′（x）．（1）设g（x）=f（x+a）+φ（x+a），求函数g（x）的极值；（2）设Sn＝nk＝1φ(1+...
已知函数f（x）=lnx，其导函数为f′（x），令φ（x）=f′（x）．（1）设g（x）=f（x+a）+φ（x+a），求函数g（x）的极值；（2）设Sn＝nk＝1φ(1+kn)，Tn＝nk＝1φ(1+k?1n)，n∈N*．（i）求证：Snn＜ln2；（ii）是否存在正整数n0，使得当n＞n0时，都有0＜Sn+Tn2n?ln2＜18040成立？若存在，求出一个满足条件的n0的值；若不存在，请说明理由．
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（1）因为g′(x)＝
?
＝
，∴x∈（-a，1-a]时，函数g（x）为减函数，当x∈[1-a，+∞），函数g（x）为增函数，所以当x=1-a时，函数g（x）取得极小值g（1-a）=1，没有极大值；
（2）∵
＝
+
++
（i）取a=1，由（1）知，当x＞0时有g（x）＞g（0）=1，即
+ln(x+1)＞1，∴
＜ln(x+1)，即
＜ln(x+1)
令1+
＝n+k，即x＝
，∴
＜ln(1+
)＝ln(n+k)?ln(n+k?1)
分别取k=1，2，，n并累加得
＝
+
++
＜ln(2n)?lnn＝ln2，∴
＜ ln2
（ii）又
＝
+
++
，∴
＝
+
由（i）知
＝
+
| 1 |
| x+a |
| 1 |
| (x+a)2 |
| x?(1?a) |
| (x+a)2 |
（2）∵
| Sn |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| 2n |
（i）取a=1，由（1）知，当x＞0时有g（x）＞g（0）=1，即
| 1 |
| x+1 |
| x |
| x+1 |
| 1 | ||
1+
|
令1+
| 1 |
| x |
| 1 |
| n+k?1 |
| 1 |
| n+k |
| 1 |
| n+k?1 |
分别取k=1，2，，n并累加得
| Sn |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| n+2 |
| 1 |
| 2n |
| Sn |
| n |
（ii）又
| Tn |
| n |
| 1 |
| n |
| 1 |
| n+1 |
| 1 |
| 2n?1 |
| Sn+Tn |
| 2n |
| Sn |
| n |
| 1 |
| 4n |
由（i）知
| Sn+Tn |
| 2n |
| Sn |
| n |
| 1 |
| 4n |
