Question

如图，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=AF=a

如图，已知平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，四边形ABCD为直角梯形，∠ADC=90°，AB∥CD，AD=AF=a，AB=2CD=2a．（Ⅰ）求证：AF∥平面BCE；（Ⅱ）求证：AC⊥平面BCE；（Ⅲ）求四棱锥C-ABEF的体积．

Answer 1

（I）因为四边形ABEF为矩形，
∴AF∥BE，BE?平面BCE，AF?平面BCE，
∴AF∥平面BCE．
（II）过C作CM⊥AB，垂足为M，∵AD⊥DC，
∴四边形ADCM为矩形．
∴AM=MB=a．
又∵AD=a，AB=2CD=2a，
∴AC=

2

a，BC=

2

a．
∴AC²+BC²=AB²，
∴AC⊥BC．
∵平面ABEF⊥平面ABCD，四边形ABEF为矩形，
∴BE⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，
∴BE⊥AC．BE?平面BCE，BC?平面BCE，BE∩BC=B，
∴AC⊥平面BCE．
（III）∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
CM⊥AB，CM?平面ABCD，
∴CM⊥平面ABEF．
VC-ABEF=

1

3

CM?S矩形ABEF=

1

3

×a×a×2a=

2

3

a3．