Question

选修4-5：不等式选讲已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=24①求a+2b+3c的最值；②若满足题设条件的任意实数a

选修4-5：不等式选讲已知实数a，b，c满足a2+2b2+3c2=24①求a+2b+3c的最值；②若满足题设条件的任意实数a，b，c，不等式a+2b+3c＞|x+1|-14恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

①因为已知a、b、c是实数，且a²+2b²+3c²=24
根据柯西不等式（a²+b²+c²）（x²+y²+z²）≥（ax+by+cz）²
故有（a²+2b²+3c²）（1²+(

2

) 2+（

3

）²）≥（a+2b+3c）²
故（a+2b+3c）²≤144，即|a+2b+3c|≤12
即a+2b+3c的最大值为12，a+2b+3c的最小值为-12；
②：已知不等式a+2b+3c＞|x+1|-14恒成立，即需要|x+1|-14小于a+2b+3c的最小值即可．
即|x+1|-14＜-12．解得：-2＜x+1＜2，-3＜x＜1
即：实数x的取值范围（-3，1）．