Question

如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，BC与AD的延长线相交于E，且AD⊥PD，垂足为D．（

如图，AB是⊙O的直径，P是AB延长线上一点，PD切⊙O于点C，BC与AD的延长线相交于E，且AD⊥PD，垂足为D．（1）求证：AB=AE；（2）若△ABE是等边三角形，求AB：BP的值．

Answer 1

（1）证明：连接OC，
∵PD切⊙O于点C，
∴OC⊥PD；
又∵AD⊥PD，
∴OC∥AD；
∵O是AB的中点，
∴OC=

1

2

AE，
∵AB是⊙O的直径，
∴OC=

1

2

AB，
∴AB=AE．

（2）解：∵△ABE是等边三角形，
∴∠ABE=60°，
∵OB=OC，
∴△OBC是等边三角形，
∴∠BOC=60°，OC=BC，
∵OC⊥PD，
∴∠OCP=90°，∠P=30°，
∴∠PCB=∠OBC-∠P=30°，
∴∠PCB=∠P，
∴BC=BP，
∴BP=OC，
∴AB：BP=2：1．