Question

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F

如图，在Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC的中点，∠MDN=90°，∠MDN绕点D旋转，DM、DN分别与边AB、AC交于E、F两点．下列结论：①（BE+CF）=22BC；②S△AEF≤14S△ABC；③S四边形AEDF=AD?EF；④AD≥EF；⑤AD与EF可能互相平分．其中，正确的结论是______（填序号）．

Answer 1

∵Rt△ABC中，AB=AC，点D为BC中点，
∴∠C=∠BAD=45°，AD=BD=CD，
∵∠MDN=90°，
∴∠ADE+∠ADF=∠ADF+∠CDF=90°，
∴∠ADE=∠CDF．
在△AED与△CFD中，

∠EAD＝∠C AD＝CD ∠ADE＝∠CDF

，
∴△AED≌△CFD（ASA），
∴AE=CF，
在Rt△ABD中，BE+CF=BE+AE=AB=

AD2+BD2

=

2

BD=

2

2

BC．
故①正确；
设AB=AC=a，AE=CF=x，则AF=a-x．
∵S_△AEF=

1

2

AE?AF=

1

2

x（a-x）=-

1

2

（x-

1

2

a）²+

1

8

a²，
∴当x=

1

2

a时，S_△AEF有最大值

1

8

a²，
又∵

1

4

S_△ABC=

1

4

×

1

2

a²=

1

8

a²，
∴S_△AEF≤

1

4

S_△ABC．
故②正确；
EF²=AE²+AF²=x²+（a-x）²=2（x-

1

2

a）²+

1

2

a²，
∴当x=

1

2

a时，EF²取得最小值

1

2

a²，
∴EF≥

2

2

a（等号当且仅当x=

1

2

a时成立），
而AD=

2

2

a，
∴EF≥AD．
故④错误；
由①的证明知△AED≌△CFD，
∴S_{四边形AEDF}=S_△AED+S_△ADF=S_△CFD+S_△ADF=S_△ADC=

1

2

AD²，
∵EF≥AD，
∴AD?EF≥AD²，
∴AD?EF＞S_{四边形AEDF}
故③错误；
当E、F分别为AB、AC的中点时，四边形AEDF为正方形，此时AD与EF互相平分．
故⑤正确．
综上所述，正确的有：①②⑤．
故答案为：①②⑤．