Question

已知各项均为正数的数列{an} 满足a2n+1＝2a2n+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{an} 的通

已知各项均为正数的数列{an} 满足a2n+1＝2a2n+anan+1，且a2+a4=2a3+4，其中n∈N*．（1）求数列{an} 的通项公式；（2）令cn＝1+nan，记数列{cn} 的前n项积为Tn，其中n∈N* 试比较Tn 与9的大小，并加以证明．

Answer 1

（1）因为a_n+1²=2a_n²+a_na_n+1，即（a_n+1+a_n）（2a_n-a_n+1）=0，
又a_n＞0，所以有2a_n-a_n+1=0，所以2a_n=a_n+1，所以数列{a_n}是公比为2的等比数列．
由a₂+a₄=2a₃+4得2a₁+8a₁=8a₁+4，解得a₁=2，故a_n=2ⁿ（n∈N^*）
（2）构造函数f（x）=ln（1+x）-x（x≥0），则f′(x)＝?

x

1+x

当x＞0时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，+∞）上单调递减
∴f（x）＜f（0）=0，∴ln（1+x）-x＜0
∴lnc_n=ln（1+

n

an

）=ln(1+

n

2n

)＜

n

2n

∴lnT_n＜

1

2

+

2

22

…+

n

2n

记A_n=

1

2

+

2

22

…+

n

2n

①，则

1

2

A_n=

1

22

+

2

23

…+

n?1

2n

+

n

2n+1

②
∴①-②可得

1

2

A_n=

1

2

+

1

22

+

1

23

…+

1

2n

?

n

2n+1

=1-

n+2

2n+1

＜1
∴A_n＜2
∴lnT_n＜2
∴T_n＜e²＜9．