Question

如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC ． （1）求证：CD是⊙

如图，AB是⊙O的直径，C是AB延长线上一点，点D在⊙O上，且∠A=30°，∠ABD=2∠BDC ． （1）求证：CD是⊙O的切线；（2）过点O作OF∥AD，分别交BD、CD于点E、F．若OB =2，求 OE和CF的长．

Answer 1

（1）连结OD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，即可求得∠ABD=60°，从而可以求得∠BDC= ，即可证得△ODB是等边三角形，则可得∠ODC=90°，问题得证；（2） ，

试题分析：（1）连结OD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，即可求得∠ABD=60°，从而可以求得∠BDC= ，即可证得△ODB是等边三角形，则可得∠ODC=90°，问题得证； （2）根据平行线的性质可得∠OED=90°，根据垂径定理可得 ，根据勾股定理可求得OE的长，然后根据∠DOC、∠DOF的正切函数即可求得CD、DF的长，从而可以求得结果. （1）连结OD ∵AB是⊙O的直径， ∴∠ADB=90°． ∵∠A=30°， ∴∠ABD=60°． ∵∠ABD=2∠BDC， ∴∠BDC= ． ∵OD=OB， ∴△ODB是等边三角形． ∴∠ODB=60°． ∴∠ODC=∠ODB+∠BDC=90°． ∴CD是⊙O的切线； （2）∵OF∥AD，∠ADB=90°， ∴∠OED=90° ∵BD=OB=2， ∴ ． ∴ ． ∵OD=OB=2，∠DOC=60°，∠DOF=30°， ∴ ， ． ∴ ． 点评：此类问题知识点较多，综合性较强，在中考中比较常见，一般难度不大，需熟练掌握.