Question

过点 (1， 1 2 ) 作圆x 2 +y 2 =1的切线，切点分别为A，B．若直线AB恰好经过椭圆 x 2

过点 (1， 1 2 ) 作圆x 2 +y 2 =1的切线，切点分别为A，B．若直线AB恰好经过椭圆 x 2 a 2 + y 2 b 2 =1(a＞b＞0) 的焦点和上顶点，则椭圆方程为______．

Answer 1

方法一：设点P (1， 1 2 ) ，O（0，0）．则以线段OP为直径的圆的方程为： (x- 1 2 ) 2 +(y- 1 4 ) 2 = 5 16 ．与方程x 2 +y 2 =1相减得 x+ 1 2 y=1 ． 令x=0，得y=2；令y=0，得x=1． ∴焦点为（1，0），上顶点为（0，2）． ∴c=1，b=2．a 2 =b 2 +c 2 =5． ∴椭圆的方程为 x 2 5 + y 2 4 =1 ． 方法二：易知直线x=1是圆的一条切线，切点为A（1，0）； 设另一条切线的斜率为k，则切线方程为 y- 1 2 =k(x-1) ，化为2kx-2y+1-2k=0，则 |1-2k| 4 k 2 +4 =1 ，解得 k=- 3 4 ，得切线方程为3x+4y-5=0． 联立 3x+4y-5=0 x 2 + y 2 =1 解得切点B ( 3 5 ， 4 5 ) ． ∴直线AB的方程为：2x+y-2=0．以下同方法一．