在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M
在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为...
在平面直角坐标系xOy中，F是抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点，M是抛物线C上位于第一象限内的任意一点，过M，F，O三点的圆的圆心为Q，点Q到抛物线C的准线的距离为32．（Ⅰ）求抛物线C的方程；（Ⅱ）是否存在点M，使得直线MQ与抛物线C相切于点M？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．
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（Ⅰ）∵⊙Q过M、F、O三点，
∴Q一定在线段FO的中垂线上，
∵抛物线x2=2py的焦点F（0，
），O（0，0）
∴FO的中垂线为：y=
，设Q（xQ，yQ），得yQ＝
，
结合抛物线的定义，得Q到抛物线C的准线的距离为
?(?
)＝
，解之得p=2
由此可得，抛物线C的方程为x2=4y
（Ⅱ）设存在点M（x0，
），抛物线化成二次函数：y=
x2，
对函数求导数，得y′＝
x，得切线MQ：y?
＝
(x?x0)，
由（1）知，yQ=
，所以对MQ方程令y＝
，得xQ＝
+
∴Q（
+
，
），
结合|MQ|=|OQ|得：(
+
)2+
＝(
?
)2+(
?
∴Q一定在线段FO的中垂线上，
∵抛物线x2=2py的焦点F（0，
| p |
| 2 |
∴FO的中垂线为：y=
| p |
| 4 |
| p |
| 4 |
结合抛物线的定义，得Q到抛物线C的准线的距离为
| p |
| 4 |
| p |
| 2 |
| 3 |
| 2 |
由此可得，抛物线C的方程为x2=4y
（Ⅱ）设存在点M（x0，
| x02 |
| 4 |
| 1 |
| 4 |
对函数求导数，得y′＝
| 1 |
| 2 |
| ||
| 4 |
| x0 |
| 2 |
由（1）知，yQ=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| x0 |
| x0 |
| 2 |
∴Q（
| x0 |
| 2 |
| 1 |
| x0 |
| 1 |
| 2 |
结合|MQ|=|OQ|得：(
| x0 |
| 2 |
| 1 |
| x0 |
| 1 |
| 4 |
| x0 |
| 2 |
| 1 |
| x0 |
| x02 |
| 4 |
