Question

已知函数 y=b+ a x 2 +2x ，（a，b是常数a＞0且a≠1）在区间[- 3 2 ，0 ]上有y max =3

已知函数 y=b+ a x 2 +2x ，（a，b是常数a＞0且a≠1）在区间[- 3 2 ，0 ]上有y max =3，y min = 5 2 （1）求a，b的值；（2）若a∈N * 当y＞10时，求x的取值范围．

Answer 1

（1） x∈[- 3 2 ，0]，t= x 2 +2x=(x+1 ) 2 -1 的值域为[-1，0]，即t∈[-1，0]， 若a＞1，函数y=a t 在R上单调递增， 所以， a t ∈[ 1 a ，1] ，则 b+ a x 2 +2x ∈[b+ 1 a ，b+1] ， 所以 b+ 1 a = 5 2 b+1=3 ? a=2 b=2 ； 若0＜a＜1，函数y=a t 在R上单调递减， a t ∈[1， 1 a ] ，则 b+ a x 2 +2x ∈[b+1，b+ 1 a ] ， 所以 b+ 1 a =3 b+1= 5 2 ? a= 2 3 b= 3 2 ， 所以a，b的值为 a= 2 3 b= 3 2 或 a=2 b=2 ； （2）由（1）可知a=2，b=2， 则 2+ 2 x 2 +2x ＞10 ，即x 2 +2x＞3?x 2 +2x-3＞0， 解得x＞1或x＜-3， 所以x的取值范围为{x|x＞1或x＜-3}．